miércoles, 21 de abril de 2010

Aplicacion de los numeros complejos en la ingenieria

Números complejos

Los números complejos se introducen para dar sentido a la raíz cuadrada de los números negativos. Así se abre la puerta a un curioso al sorprendente mundo en el que todas las operaciones (salvo dividir entre 0) son posibles.
La importancia de los números complejos está marcada por sus múltiples aplicaciones en diversas Áreas (Matemáticas, Física, Ingeniería, Tecnología)

Definición

Los Números Complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose que . Los números complejos tienen la capacidad de representar todas las raíces de los polinomios, cosa que con los reales no era posible.

Esto se consigue gracias a que los
complejos hacen uso de una unidad imaginaria llamada número i, que verifica la propiedad:

i2 = − 1

Esta unidad imaginaria es de hecho la que permite definir las operaciones con esos números, puesto que para efectuarlas hay que tener presente que cada lado de esa unidad imaginaria debe trabajarse en forma independiente, no confundiendo, por decirlo de alguna forma, las peras y las manzanas.
La representación binomial de un número complejo se escribe como z = a+ ib donde a es la parte real de un número complejo, y b es la parte imaginaria.
Se expresa así:

a = Re (z)
b = Im (z)

Aplicaciones de los números complejos

Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables. En una expresión del tipo z = r eiφ podemos pensar en r como la amplitud y en φ como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia sinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja de la forma: f(t) = z eiωt donde ω representa la frecuencia angular y el número complejo z nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas.

Ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la unidad imaginaria en vez de i que está típicamente destinada a la intensidad de corriente. El campo complejo es igualmente importante en mecánica cuántica cuya matemática subyacente utiliza Espacios de Hilbert de dimensión infinita sobre C (ℂ). En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la métrica del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una variable imaginaria. En ecuaciones diferenciales, cuando se estudian las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, es habitual encontrar primero las raíces (en general complejas) del polinomio característico, lo que permite expresar la solución general del sistema en términos de funciones de base de la forma:

Los fractales son diseños artísticos de infinita complejidad. En su versión original, se los define a través de cálculos con números complejos en el plano.



La ingeniería no existiría sin las matemáticas. A la inversa, la sentencia podría ser falsa, las matemáticas existen, independientemente de la ingeniería. Sin embargo, para los ingenieros, lo importante es convencerse, no de las matemáticas en sí mismas, sino de la aplicación de ellas. Las matemáticas aplicadas son las que han permitido lograr el desarrollo que ha alcanzado la ingeniería.

El objeto formal de la ingeniería es la mejora de la calidad de vida de la humanidad, su objeto material es la naturaleza. El término naturaleza es muy amplio, un primer acercamiento a su significado lo encontramos en el orden semántico que los diccionarios explica“conjunto de seres y cosas que forman el universo y en los que no ha intervenido el hombre”. La realidad del universo no esta en duda, ni es motivo de nuestra atención en este ensayo, las caídas de agua “naturales” que existen en nuestro planeta, como por ejemplo, la bella cascada de la Tzaráracua en el estado de Michoacán, las infinidad de pequeños saltos de agua con los que cuenta el estado de Veracruz, o las impresionantes cataratas del Niágara, más allá de nuestras fronteras, han sido diferentes objetos materiales de estudio por parte de la ingeniería, en todas ellas su objeto formal prevalece, el cual es buscar una forma de utilizarlas para lograr una mejora en la calidad de vida de la humanidad. Referente a este ejemplo, surge una palabra muy comúnmente utilizada en Ingeniería Eléctrica, la de “traductor” que significa un instrumento capaz de modificar la energía potencial del agua, en la parte superior de la caída, en energía eléctrica, la cual no solo es de gran utilidad, sino necesaria para vivir en nuestros tiempos modernos. Un enfoque más pragmático sería entender a la naturaleza simplemente como la física, desde el punto de vista de dinámica, o la física, desde el punto de vista de electricidad o desde cualquier otro punto de vista, pero lo fundamental en todos ellos es que son simplemente física o bien, entendido desde un punto de vista más profundo, todos éstos enfoques se refieren a diferentes formas de estudiar las partes de un mismo todo llamado naturaleza.

Las matemáticas son el medio más poderoso que tiene el hombre para comprender al mundo que le rodea, pero no es la única, la simple observación de la naturaleza es también un medio para conocerla, ejemplo de lo anterior fueron las aportaciones realizadas por Benjamín Franklin o por Tomás Alva Edison. Sin embargo, es indiscutible que la aplicación de las matemáticas es lo que ha colocado a la ingeniería en el lugar que ocupa actualmente, este medio, las matemáticas, tiene principios muy antiguos, como el cálculo del número p, que data de civilizaciones previas a la griega o con el triángulo que cuenta con un ángulo recto, ya que hasta la fecha el número de veces que cabe el radio en la circunferencia sigue siendo el mismo que en las circunferencias del pasado, y de la misma forma, el teorema de Pitágoras se sigue cumpliendo con los triángulos rectángulos de nuestra época.

Los logros de la ingeniería a los que nos hemos referido en más de una ocasión son palpables y objetivos, a través de los aparatos tecnológicos, que día con día se amalgaman a nuestra vida cotidiana, el vehículo que nos traslada a nuestro centro de trabajo, el teléfono que nos comunica a distancia, el horno de microondas y el refrigerador que nos ayudan a proporcionarnos los alimentos adecuados que requerimos así como todos los demás equipos que en mayor o menor medida utilizamos en nuestra vida diaria han sido producto, todos ellos, de la aplicación de las matemáticas, para conocer las leyes de la termodinámica y de la mecánica y así construir el motor de combustión interna, del modelo propuesto por Maxwell para representar con sus ecuaciones a las ondas electromagnéticas que desde siempre han existido en la naturaleza o de las ecuaciones de la temperatura y la electricidad para aumentar y disminuir la primera a voluntad, en el horno y en el refrigerador respectivamente. Pero las matemáticas solo están en la naturaleza en la medida que el hombre piense acorde a la realidad, acorde a la verdad, cuando así lo hace, las matemáticas se reflejan en toda ella.

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